Побудова еліптичних кривих з нульовим слідом ендоморфізма Фробеніуса

Анотація

Більшість криптосистем сучасної криптографії природним чином можна «перекласти» на еліптичні криві. Ми розг-лядаємо алгебраїчні криві Едвардса над скінчнним полем n pF , які на даний час є одним з найбiльш перспективнихносiїв множин точок, що використовують для швидких групових операцій [1, 2, 14], які наявні в асиметричних крип-тосистемах, зокрема для побудови випадкових криптостійких послідовностей. Показано, що проективна крива a,d Eне є елiптичною. Метою роботи є пошук критерію і достатніх умов суперсингулярності кривої Едвардса і еліптичноїкривої у формі Монтгомері над простим полем p а потім узагальнення цього критерія для скінченного алгебраїчногорозширення цього поля до n pF . В роботі [10] було представлене доведення суперсингулярності кривої d E лише длякоефіцієнтів 1 d 2, d 2   над p , нашою ж метою є дослідження всіх коефіцієнтів при яких ця крива є суперсингу-лярною. В нашій роботі знайдено критерії і достатні умови суперсингулярності кривої Едвардса і еліптичної кривої уформі Монтгомері над полем n pF , тобто досліджено при яких коефіцієнтах отримується пара кривих зі слідом Фро-беніуса рівним 0. При цьому криві Монтгомері над полем характристики 2 мають нульовий j-інварівант. Знайденоне тільки конкретну множину коефіцієнтів з відповідними характеристиками полів при яких ці криві є суперсингуляр-ними, а й загальну формулу за якою можна визначити чи є крива суперсингуярною над даним полем чи ні. В роботіузагальнено результат про суперсингулярність кривої над p отриманий в [10] для коефіцієнтів 1 d 2, d 2   навипадок довільного розширення простого поля n p та уточнено формулювання теореми 3 з [10]. Зроблено аналогічнедослідження і для еліптичних кривих у формі Монтгомері.