Нейромережеве розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Частина 1

Анотація

Останнім часом нейронні мережі стали все популярнішими завдяки своїй універсальності у вирішенні складних проблем. Однією з цікавих областей їх застосування є розв’язання лінійних алгебричних систем, особливо тих, що є погано обумовленими. Розв’язки подібних систем дуже чутливі до невеликих змін їх коефіцієнтів, що призводить до нестійких рішень. Тому розв’язання цих типів систем може бути складною задачею і вимагати спеціальних прийомів. У статті досліджено застосування нейронних мереж для розв’язання систем лінійних алгебричних рівнянь, зосереджуючись на погано обумовлених системах. Основною метою є розробка моделі, здатної безпосередньо розв’язувати лінійні рівняння та оцінювання її продуктивності на ряді систем, в тому числі погано обумовлених. Для вирішення цієї проблеми було побудовано нейронну мережу, яка реалізує ітеративний алгоритм. Функція помилки лінійної алгебричної системи мінімізується за допомогою стохастичного градієнтного спуску. Ця модель не потребує тривалого навчання, окрім налаштування швидкості навчання для особливо великих систем. Аналіз показує, що запропонована модель може добре справлятися з гарно обумовленими системами різних розмірів, хоча для систем з великими коефіцієнтами потрібна нормалізація. Для ефективного розв’язання погано обумовлених систем потрібні покращення, так як досліджуваний алгоритм виявився арифметично нестійким. Це дослідження сприяє розумінню та застосуванню методів нейронних мереж для розв’язання лінійних алгебричних систем. Це забезпечує основу для майбутніх просувань у цій галузі та відкриває нові можливості для вирішення складних проблем. З подальшими дослідженнями та розвитком моделі нейронних мереж можуть стати потужним інструментом для розв’язання погано обумовлених лінійних систем та інших пов’язаних проблем.