Захист інформації
Ukrainian Information Security Research Journal

Більшість криптосистем сучасної криптографії природним чином можна «перекласти» на еліптичні криві. Ми розг-лядаємо алгебраїчні криві Едвардса над скінчнним полем n pF , які на даний час є одним з найбiльш перспективнихносiїв множин точок, що використовують для швидких групових операцій [1, 2, 14], які наявні в асиметричних крип-тосистемах, зокрема для побудови випадкових криптостійких послідовностей. Показано, що проективна крива a,d Eне є елiптичною. Метою роботи є пошук критерію і достатніх умов суперсингулярності кривої Едвардса і еліптичноїкривої у формі Монтгомері над простим полем p а потім узагальнення цього критерія для скінченного алгебраїчногорозширення цього поля до n pF . В роботі [10] було представлене доведення суперсингулярності кривої d E лише длякоефіцієнтів 1 d 2, d 2   над p , нашою ж метою є дослідження всіх коефіцієнтів при яких ця крива є суперсингу-лярною. В нашій роботі знайдено критерії і достатні умови суперсингулярності кривої Едвардса і еліптичної кривої уформі Монтгомері над полем n pF , тобто досліджено при яких коефіцієнтах отримується пара кривих зі слідом Фро-беніуса рівним 0. При цьому криві Монтгомері над полем характристики 2 мають нульовий j-інварівант. Знайденоне тільки конкретну множину коефіцієнтів з відповідними характеристиками полів при яких ці криві є суперсингуляр-ними, а й загальну формулу за якою можна визначити чи є крива суперсингуярною над даним полем чи ні. В роботіузагальнено результат про суперсингулярність кривої над p отриманий в [10] для коефіцієнтів 1 d 2, d 2   навипадок довільного розширення простого поля n p та уточнено формулювання теореми 3 з [10]. Зроблено аналогічнедослідження і для еліптичних кривих у формі Монтгомері.

скінченне поле; еліптична крива; крива Едвардса; порядок кривої; скінчене поле; алгебраїчна крива; група точок еліптичної кривої; порядок точки; криві кручення

H. Edwards, "A normal form for elliptic curves",

American Mathematical Society, vol. 44, no. 3, pp. 393-

, 2007.

D. J. Bernstein, P. Birkner, M. Joye, T. Lange, C. Peters,

"Twisted Edwards Curves", IST Programme

ECRYPT, and in part by grant ITR-0716498, pp. 1-17,

A. Menezes, T. Okamoto, S. Vanstone, "Reducing Elliptic

Curve Logarithms to Logarithms in a Finite

Field", IEEE Transactions On Information Theory, vol. 39,

no. 5, pp. 1603-1646, 1993.

Е. Алексеев, И. Ошкин, В. Попов, С. Смышляев,

Л. Сонина, "О перспективах использования скру-

ченных эллиптических кривых Эдвардса со станда-

ртом ГОСТ Р 34.10-2012 и алгоритмом ключевого

обмена на его основе", Материалы XVI международ-

ной конференции "РусКрипто 2014", C. 24-26, 2014.

S. Hallgren, "Linear congruential generators over

elliptic curves", Preprint CS-94-143, Dept. Of Comp. Sci.,

CornegieMellon Univ., pp. 1-10, 1994.

И. Виноградов, Основы теории чисел: Учебное пособие.

-е изд., СПб.: Издательство «Лань», 2009, 271 с.

А. Белецкий, А. Белецкий, "Симметричный блоч-

ный криптоалгоритм", Захист інформації, № 2 (29),

С. 42-51, 2006.

Р. Скуратовський, П. Мовчан, "Нормалiзацiя скру-

ченої кривої Едвардса та дослiдження її властиво-

стей над Fp", Збiрник праць 14 Всеукраїнської науково-

практичної конференцiї. ФТI НТУУ "КПI", Том 2,

С. 102-104, 2016.

Р. Скуратовський, "Дослiдження властивостей

скрученої кривої Едвардса. Конференцiя держав-

ної служби спецiального зв’язку та захисту iнфор-

мацiї". [Електронний ресурс]. Режим доступу:

http://www.dstszi.gov.ua/dstszi/control/uk/publis

h/article?showHidden=1artid=252312cat id=240232

ctime=1464080781894

А. Бессалов, О. Цыганкова, "Взаимосвязь семейс-

тва точек больших порядков кривой Эдвардса над

простым полем", Захист інформації, Т. 17, № 1,

С. 73-80, 2015.

R. Skuratovskii, "Twisted Edwards curve and its group

of points over finite field Fp", Лiтня школа "Алгебра,

Топологiя, Аналiз", Одеса, pp. 122-124, 2016.

R. Skuratovskii, U. Skruncovich, "Twisted Edwards

curve and its group of points over finite field Fp",

Conference. Graphs and Groups, Spectra and Symmetries.

Akademgorodok, Novosibirsk, Russia. http://math.

nsc.ru/conference/g2/g2s2/exptext/SkruncovichSk

uratovskii-abstract-G2S2.pdf

M. Рид, Алгебраическая геометрия для всех, Москва:

Мир, 1991, 143 с.

H. Huseyin, K. W. Kenneth, C. Gary. "Twisted Edwards

Curves Revisited", ASIACRYPT LNCS 5350,

pp. 326-343, 2008.

С. Степанов, Арифметика алгебраических кривых. М.:

Наука, 1991, 368 с.

N. Koblitz, "Eliptic Curve Cryptosystems",

Mathematics of Computation, vol. 48, no. 177, pp. 203-

, 1987.

І. Сергієнко, В. Задірака, О. Литвин, Елементи за-

гальної теорії оптимальних алгоритмів та суміжні пи-

тання, К.: Наук. думка, 2012, 400 с.

О. Рибак, "Розкладність рядків та звідність много-

членів", У світі математики, № 4, C. 18-29, 2006.

Р. Скуратовский, "Метод быстрого таймерного ко-

дирования текстов”, Кибернетика и системный ана-

лиз, Т. 49, № 1, С. 154-160, 2013.

В. Долгов, "Эллиптические кривые в криптогра-

фии", Системи обробки інформації, № 6 (73). С. 3-10,

А. Болотов, С. Гашков, А. Фролов, А. Часовских,

Элементарное введение в эллиптическую криптографию,

М.: КомКника, Т. 2., 2006, 328 с.