Метод розв’язування задачі про течію в каналі з осесиметричним прямокутним розширенням

Анотація

Розроблено чисельний метод розв’язування задачі про рух рідини у прямому плоскому жорсткому каналі з локальним жорсткостінним осесиметричним розширенням прямокутної форми. Цей метод має другий порядок точності по просторових координатах і за часом. У розробленому методі рівняння Нав’є-Стокса і нерозривності розв’язуються шляхом їх інтегрування по елементарних об’ємах (на які розбивається розрахункова область), просторово-часової дискретизації одержаних у результаті цього інтегральних рівнянь і подальшого розв’язування нелінійних алгебраїчних рівнянь. При виконанні зазначеної дискретизації часова її частина проводиться на основі неявної триточкової несиметричної схеми з різницями назад, а просторова – на основі TVD-схеми та відповідної схеми дискретизації просторових похідних. Розв’язування зазначених алгебраїчних рівнянь проводиться у три етапи. Спочатку дискретне рівняння кількості руху переписується у вигляді рівняння для швидкості. Потім на основі дискретного рівняння нерозривності виводиться рівняння для тиску. Після цього до одержаних зв’язаних нелінійних алгебраїчних рівнянь для швидкості і тиску застосовується процедура знаходження та узгодження між собою послідовних наближень цих величин. Кількість же наближень тут визначається задаваною точністю розв’язку. При знаходженні перших наближень шуканих величин проводиться модифікація рівняння для швидкості шляхом заміни в ньому невідомих значень тиску та (у потокові, який входить у це рівняння) швидкості їхніми значеннями, знайденими у попередній момент часу. При знаходженні ж наступних наближень шукані швидкість (у потокові) і тиск заміняються у рівнянні для швидкості вже їхніми відомими попередніми наближеннями. Такі заміни дозволяють переходити від розв’язування вищезазначених зв’язаних систем нелінійних алгебраїчних рівнянь для швидкості і тиску до відповідних незалежних лінійних. Для розв’язування ж систем лінійних алгебраїчних рівнянь застосовується ітераційний метод, в якому використовуються методи відкладеної корекції та спряжених градієнтів, а також солвери ICCG (для симетричних матриць) та Bi-CGSTAB (для асиметричних матриць).